Кривизна нейтрального слоя 1/s является мерой деформации стержня при прямом чистом изгибе. 1/s тем меньше, чем больше величина EJх, называемая жесткостью поперечного сечения при изгибе (по аналогии с жесткостью поперечного сечения при растяжении EF).
где Jx - главный центральный момент инерции относительно оси Ох, для кривизны нейтрального слоя получаем формулу
Вторым уравнением равновесия статики является, связывающее нормальные напряжения с изгибающим моментом (который легко может быть выражен через внешние силы и поэтому считается заданной величиной). Подставляя в уравнение связки выражение для. напряжений, получим:
Интеграл в левой части этого уравнения представляет собой статический момент поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси Ох, который может быть равным нулю только относительно центральной оси. Поэтому нейтральная ось Ох проходит через центр тяжести поперечного сечения.
и учитывая, что (Е / r) 0, получаем, что
Подставляя в это уравнение выражение ( )
Эта формула не пригодна для практического использования, так как содержит две неизвестные: кривизну нейтрального слоя 1/r и положение нейтральной оси Ох, от которой отсчитывается координата у. Для определения этих неизвестных воспользуемся уравнениями равновесия статики. Первое выражает требование равенства нулю продольной силы
Тогда нормальное напряжение, растягивающее волокно АВ, на основании закона Гука будет равно
Продольная деформация e оказалась линейной функцией расстояния от нейтрального слоя, что является прямым следствием закона плоских сечений
Из подобия треугольников С001 и 01ВВ1 следует, что
Вычислим относительную деформацию продольного волокна АВ, отстоящего от нейтрального слоя на у:
Рассмотрим вырезанный из стержня элемент длиной dz, который в масштабе с искаженными в интересах наглядности пропорциями изображен на . Поскольку интерес представляют деформации элемента, определяемые относительным смещением его точек, одно из торцевых сечений элемента можно считать неподвижным. Ввиду малости dj считаем, что точки поперечного сечения при повороте на этот угол перемещаются не по дугам, а по соответствующим касательным.
Рассмотрим призматический стержень в условиях прямого чистого изгиба ( ) с поперечным сечением, симметричным относительно вертикальной оси Оу. Это условие не отразится на конечном результате (чтобы прямой изгиб был возможен, необходимо совпадение оси Оу с главной осью инерции поперечного сечения, которая и является осью симметрии). Ось Ox поместим на нейтральном слое, положение которого заранее неизвестно.
Таким образом, чистый прямой изгиб призматического стержня сводится к одноосному растяжению или сжатию продольных волокон напряжениями s (индекс г в дальнейшем опускаем). При этом часть волокон находится в зоне растяжения (на это - нижние волокна), а другая часть - в зоне сжатия (верхние волокна). Эти зоны разделены нейтральным слоем (n-n), не меняющим своей длины, напряжения в котором равны нулю. Учитывая сформулированные выше предпосылки и полагая, что материал стержня линейно-упругий, т. е. закон Гука в этом случае имеет вид: s=eЕ, выведем формулы для кривизны нейтрального слоя 1/r (r - радиус кривизны) и нормальных напряжений s. Предварительно отметим, что постоянство поперечного сечения призматического стержня и изгибающего момента (Mх=сonst), обеспечивает постоянство радиуса кривизны нейтрального слоя по длине стержня ( ), нейтральный слой (n-n) описывается дугой окружности.
Ортогональность продольных и поперечных рисок до и после деформирования (как отражение действия закона плоских сечений) указывает также на отсутствие сдвигов, касательных напряжений в поперечных и продольных сечениях стержня.
Сформулируем предпосылки теории чистого прямого изгиба призматического стержня. Для этого проанализируем деформации модели стержня из низкомодульного материала, на боковой поверхности которого нанесена сетка продольных и поперечных рисок ( ). Поскольку поперечные риски при изгибе стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях, остаются прямыми и перпендикулярными к искривленным продольным рискам, это позволяет сделать вывод о выполнении гипотезы плоских сечений, которая, как показывает решение этой задачи методами теории упругости, перестает быть гипотезой, становясь точным фактом - законом плоских сечений. Замеряя изменение расстояний между продольными рисками, приходим к выводу о справедливости гипотезы о ненадавливании продольных волокон (sх =sy=0).
При прямом чистом изгибе в поперечном сечении стержня возникает только один силовой фактор - изгибающий момент Мх ( ). Так как Qy=dMx/dz=0, то Mx=const и чистый прямой изгиб может быть реализован при загружении стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях стержня. Поскольку изгибающий момент Mх по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно оси Ох с нормальными напряжениями его связывает выкающее из этого определения уравнение статики
Ключевые слова: прочность, жесткость, осевой момент инерции, осевой момент сопротивления.
Прямой чистый изгиб призматического стержня
Прямой чистый изгиб призматического стержня
Комментариев нет:
Отправить комментарий